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L’institut Clay c\u00e9l\u00e8bre ces jours-ci \u00e0 Paris, en collaboration avec l’Institut Henri Poincar\u00e9, la d\u00e9monstration de la conjecture de Poincar\u00e9, un probl\u00e8me de topologie vieux d’un si\u00e8cle.<\/p>\nL’institut Clay c\u00e9l\u00e8bre ces jours-ci \u00e0 Paris, en collaboration avec l’Institut Henri Poincar\u00e9, la d\u00e9monstration de la conjecture de Poincar\u00e9, un probl\u00e8me de topologie vieux d’un si\u00e8cle.<\/p>\n
En 2002 et 2003, le math\u00e9maticien russe Grigoriy Perelman mettait en ligne sur Internet une s\u00e9rie de pr\u00e9publications qui contenaient notamment la d\u00e9monstration d’une c\u00e9l\u00e8bre conjecture des math\u00e9matiques, la \u00ab conjecture de Poincar\u00e9 \u00bb, \u00e9nonc\u00e9e sous forme de question en 1904 par le grand math\u00e9maticien fran\u00e7ais Henri Poincar\u00e9.<\/p>\n
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Encore fallait-il s’assurer que la preuve \u00e9tait correcte. Une telle v\u00e9rification par des pairs comp\u00e9tents peut, lorsqu’une d\u00e9monstration est tr\u00e8s complexe, prendre des mois, voire des ann\u00e9es, comme l’avait illustr\u00e9 la preuve par Andrew Wiles du grand th\u00e9or\u00e8me de Fermat, en 1994.<\/p>\n
Aujourd’hui, on peut consid\u00e9rer la conjecture de Poincar\u00e9 comme un th\u00e9or\u00e8me. D\u00e9j\u00e0 en 2006, les math\u00e9maticiens \u00e9taient assez convaincus de la qualit\u00e9 des travaux de G. Perelman pour que le Congr\u00e8s international des math\u00e9maticiens lui d\u00e9cerne une m\u00e9daille Fields, la plus haute distinction en math\u00e9matiques. Une m\u00e9daille que le chercheur russe, personnalit\u00e9 originale et puriste, a refus\u00e9e.<\/p>\n
Le 18 mars 2010, l’Institut Clay annon\u00e7aitl’attribution d’un Millenium Prize<\/em> (prix du mill\u00e9naire) \u00e0 G. Perelman pour la r\u00e9solution de la conjecture, ce qui repr\u00e9sente non seulement un honneur, mais aussi une belle somme d’argent : un million de dollars. Cependant, le math\u00e9maticien russe n’a pas encore dit s’il acceptait ou non la r\u00e9compense et, \u00e0 en juger par sa r\u00e9action \u00e0 la m\u00e9daille Fields, on peut s’attendre \u00e0 un refus.<\/p>\n En quoi consiste plus pr\u00e9cis\u00e9ment la conjecture de Poincar\u00e9, et qu’est donc l’Institut Clay ? Commen\u00e7ons par la premi\u00e8re question.<\/p>\n Cette conjecture stipule que toute vari\u00e9t\u00e9 tridimensionnelle compacte, sans bord et simplement connexe est hom\u00e9omorphe \u00e0 la sph\u00e8re tridimensionnelle. Plut\u00f4t qu’une longue explication de texte, donnons l’\u00e9nonc\u00e9 correspondant avec une dimension de moins, qui est beaucoup plus intuitif : toute surface ferm\u00e9e et ne comportant pas de trou peut \u00eatre d\u00e9form\u00e9e contin\u00fbment en une surface sph\u00e9rique ; autrement dit, toute surface ferm\u00e9e et sans trou est, du point de vue topologique, \u00e9quivalente \u00e0 la sph\u00e8re bidimensionnelle (d\u00e9crite par deux coordonn\u00e9es ind\u00e9pendantes, par exemple la latitude et la longitude). La conjecture de Poincar\u00e9 affirme que cette propri\u00e9t\u00e9 est \u00e9galement vraie en dimension trois, la sph\u00e8re tridimensionnelle \u00e9tant, dans l’espace de dimension 4, l’ensemble des points de coordonn\u00e9es (x1<\/sub>, x2<\/sub>, x3<\/sub>, x4<\/sub>) v\u00e9rifiant<\/p>\n x1<\/sub>2<\/sup> + x2<\/sub>2<\/sup> + x3<\/sub>2<\/sup> + x4<\/sub>2<\/sup> = 1<\/p>\n (pour une sph\u00e8re de rayon 1, c’est-\u00e0-dire l’ensemble des points situ\u00e9s \u00e0 une distance 1 du centre), et une vari\u00e9t\u00e9 de dimension trois \u00e9tant un espace qui peut, localement au moins, \u00eatre d\u00e9crit par trois coordonn\u00e9es ind\u00e9pendantes.<\/p>\n Paradoxalement, le cas de la sph\u00e8re de dimension trois s’est r\u00e9v\u00e9l\u00e9 le plus difficile \u00e0 r\u00e9soudre. Le math\u00e9maticien am\u00e9ricain Stephen Smale a prouv\u00e9 en 1961 l’analogue de la conjecture de Poincar\u00e9 pour toute dimension n<\/em> sup\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 5, et, en 1982, l’Am\u00e9ricain Michael Freedman parvint \u00e0 d\u00e9montrer le cas de la dimension n<\/em> = 4, par des m\u00e9thodes assez diff\u00e9rentes.<\/p>\n La preuve de la conjecture de Poincar\u00e9 (en dimension 3) s’est appuy\u00e9e sur de nombreux d\u00e9veloppements pr\u00e9c\u00e9dents, dus \u00e0 plusieurs math\u00e9maticiens. La conjecture de g\u00e9om\u00e9trisation, \u00e9labor\u00e9e dans les ann\u00e9es 1970 par l’Am\u00e9ricain William Thurston, y a jou\u00e9 un r\u00f4le important ; selon elle, toute vari\u00e9t\u00e9 ferm\u00e9e de dimension 3 se d\u00e9compose de fa\u00e7on unique en un nombre fini de morceaux, chacun de ces morceaux \u00e9tant caract\u00e9ris\u00e9 par une g\u00e9om\u00e9trie parmi huit possibles. Or on peut montrer que si la conjecture de g\u00e9om\u00e9trisation est vraie, alors la conjecture de Poincar\u00e9 l’est aussi. C’est d’ailleurs en prouvant les derni\u00e8res parties en suspens de la conjecture de g\u00e9om\u00e9trisation de Thurston que G. Perelman a r\u00e9gl\u00e9 le cas de la conjecture de Poincar\u00e9.<\/p>\n Pourquoi un \u00ab Prix du mill\u00e9naire \u00bb \u00e9tait-il associ\u00e9 \u00e0 cette prouesse\u00a0? En 1999, un m\u00e9c\u00e8ne am\u00e9ricain et son \u00e9pouse, Landon et Lavinia Clay, ont cr\u00e9\u00e9 l’Institut Clay pour les math\u00e9matiques, dans le but de promouvoir et diffuser le savoir math\u00e9matique. En 2000, cet Institut a tenu \u00e0 Paris une conf\u00e9rence dressant la liste de sept grands probl\u00e8mes math\u00e9matiques \u00e0 r\u00e9soudre, \u00e0 l’image de ce qu’avait fait le math\u00e9maticien allemand David Hilbert en 1900, \u00e0 Paris \u00e9galement, en \u00e9non\u00e7ant 23 grands probl\u00e8mes qui ont inspir\u00e9 une bonne partie des recherches math\u00e9matiques du XXe<\/sup> si\u00e8cle. Sauf que Hilbert n’y avait pas attach\u00e9 de prix en esp\u00e8ces sonnantes et tr\u00e9buchantes, mais juste l’honneur de l’esprit humain. L’Institut Clay, lui, a promis un \u00ab Prix du mill\u00e9naire \u00bb de un million de dollars pour chaque probl\u00e8me r\u00e9solu. Autres temps, autres m\u0153urs…<\/p>\n La conjecture de Poincar\u00e9 est le premier des sept probl\u00e8mes list\u00e9s par l’Institut Clay a \u00eatre r\u00e9solu, une r\u00e9solution valid\u00e9e apr\u00e8s l’examen d’un comit\u00e9 d’experts mis en place par l’Institut et compos\u00e9 de grands math\u00e9maticiens : Simon Donaldson, David Gabai, Mikhail Gromov<\/a>, Terence Tao<\/a> et Andrew Wiles. Les six autres probl\u00e8mes mis \u00e0 prix par l’Institut Clay portent sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer,<\/a> la conjecture de Hodge, les \u00e9quations de Navier-Stokes<\/a> en m\u00e9canique des fluides, le probl\u00e8me P ou NP<\/a> relatif \u00e0 la complexit\u00e9, l’hypoth\u00e8se de Riemann<\/a> et les \u00e9quations de Yang-Mills en th\u00e9orie quantique des champs. Des probl\u00e8mes pour lesquels, selon la boutade d’Andrew Wiles, beaucoup de math\u00e9maticiens seraient pr\u00eats \u00e0 d\u00e9bourser un million de dollars afin d’en trouver la solution.<\/p>\n